선형대수학, 지금부터 차근차근 같이 갑니다

증대행렬: 연립방정식의 계수와 우변을 한 행렬에 담은 것.
$\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=8\\ 2x_1+3x_2=11\\ 3x_1+5x_2+2x_3=21\end{cases}\;\Rightarrow\;\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\2&3&0&11\\3&5&2&21\end{array}\right]$

3가지 행 연산 (해를 바꾸지 않음): ① 두 행 교환, ② 한 행에 0 아닌 수 곱하기, ③ 한 행에 다른 행의 배수를 더하기(replacement).

행사다리꼴(echelon form): ① 0이 아닌 행이 위로, ② 각 행의 선두(leading) 항목이 윗행보다 오른쪽, ③ 선두 아래는 모두 0.
기약행사다리꼴(RREF): 거기에 더해 ④ 모든 선두 = 1(=pivot), ⑤ 피벗이 든 열의 다른 칸은 모두 0. RREF는 유일합니다.

1차결합(linear combination): $c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\cdots+c_p\mathbf v_p$ (스칼라 곱한 뒤 더한 것).
Span$\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p\}$: 가능한 모든 1차결합의 집합 = "그 벡터들로 도달할 수 있는 모든 점".

연립방정식 = 벡터방정식 $x_1\mathbf a_1+\cdots+x_n\mathbf a_n=\mathbf b$ = 행렬방정식 $A\mathbf x=\mathbf b$.
즉 $A\mathbf x$는 $A$의 열들을 $x$의 성분으로 1차결합한 것입니다.

동차방정식(homogeneous) $A\mathbf x=\mathbf 0$: 항상 $\mathbf x=\mathbf 0$(자명해)를 가짐. 질문은 "자명해 말고 다른 해가 있나?" → 자유변수가 있으면 있음.
비동차(nonhomogeneous) $A\mathbf x=\mathbf b\,(\mathbf b\neq\mathbf 0)$의 해 = (특수해 $\mathbf p$) + (동차해 전체). 즉 동차해를 평행이동한 것.

$\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p\}$가 1차독립 ⇔ $c_1\mathbf v_1+\cdots+c_p\mathbf v_p=\mathbf 0$의 해가 $c_1=\cdots=c_p=0$뿐.
다른 해(0이 아닌 $c$)가 하나라도 있으면 1차종속.

변환 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$이 선형 ⇔ ① $T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)$, ② $T(c\mathbf u)=cT(\mathbf u)$.
용어: domain(정의역 $\mathbb R^n$), codomain(공역 $\mathbb R^m$), image($T(\mathbf x)$), range(치역 = 실제 도달하는 값 전체).
행렬변환 $T(\mathbf x)=A\mathbf x$는 항상 선형변환이며, range $=\text{Span}\{A\text{의 열들}\}$.

덧셈·스칼라곱은 같은 크기에서 성분별로. 곱셈: $A$가 $m\times n$, $B$가 $n\times p$이면 $AB$는 $m\times p$. $(AB)$의 $(i,j)$성분 = $A$의 $i$행 · $B$의 $j$열의 점곱.
행렬곱은 함수의 합성에 해당하고, $AB\neq BA$가 보통입니다(교환법칙 X). 결합·분배법칙은 성립.

정사각행렬 $A$가 가역(invertible) ⇔ $AB=BA=I$인 $B$가 존재. 이때 $B=A^{-1}$이고 유일합니다.
$2\times2$ 공식: $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$, $\det A=ad-bc\neq0$이면 $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$.

$A=LU$. 여기서 $L$은 하삼각행렬(lower triangular)로 대각성분이 모두 1, $U$는 $A$의 행사다리꼴(upper triangular).
교수님 표현: "아래쪽이 중요하면 $L$(lower), 위쪽이 중요하면 $U$(upper)".

부분공간 $H\subseteq\mathbb R^n$: ① $\mathbf 0\in H$, ② 덧셈에 닫힘, ③ 스칼라곱에 닫힘. (세 조건 모두 만족해야 함)
열공간 Col$A$ = $A$의 열들이 Span하는 공간 = $\{A\mathbf x\}$ 전체.
영공간 Nul$A$ = $A\mathbf x=\mathbf 0$을 만족하는 $\mathbf x$ 전체.
기저(basis): 그 공간을 Span하면서 1차독립인 벡터 묶음 (최소한의 생성집합).

$\text{rank}A$ = $\dim\text{Col}A$ = 피벗(주축) 열의 개수.
핵심 정리 (Rank Theorem): $$\text{rank}A + \dim\text{Nul}A = (A\text{의 열의 개수 }n)$$ "피벗 열 개수 + 피벗 없는 열 개수 = 전체 열 개수"라는 당연한 사실의 다른 말입니다.

행렬식 $\det A$는 정사각행렬에 대해서만 정의되는 하나의 수이며, $\det A\neq0 \iff A$ 가역.
$2\times2$: $\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$.
여인자(cofactor) 전개: $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$ ($M_{ij}$ = $i$행 $j$열을 지운 소행렬). 어느 한 행(또는 열)을 골라 $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$.

$A$ 가역이고 $A\mathbf x=\mathbf b$일 때, $i$번째 변수: $$x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A}$$ 여기서 $A_i(\mathbf b)$ = $A$의 $i$번째 열을 $\mathbf b$로 바꾼 행렬.

벡터공간 $V$ = 그 안에서 덧셈과 스칼라곱이 가능하고 닫혀 있는 집합 (10개 공리 만족). $\mathbb R^n$만이 아니라 다항식 집합 $\mathbb P_n$, 신호열 등도 벡터공간.
부분공간: $V$의 부분집합이면서 그 자체로 ① $\mathbf 0$ 포함, ② 덧셈 닫힘, ③ 스칼라곱 닫힘.

일반 벡터공간 버전: 선형변환 $T:V\to W$에 대해
Kernel(핵) = $\{\mathbf u\in V: T(\mathbf u)=\mathbf 0\}$ — 행렬변환이면 곧 Nul$A$.
Range(치역) = $\{T(\mathbf u):\mathbf u\in V\}$ — 행렬변환이면 곧 Col$A$.

기저 $\mathcal B=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$에 대해 $\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\cdots+c_n\mathbf b_n$이면, $\mathcal B$-좌표벡터는 $[\mathbf x]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$.
좌표사상 $\mathbf x\mapsto[\mathbf x]_{\mathcal B}$는 선형변환이며, 이를 통해 임의의 $n$차원 벡터공간을 $\mathbb R^n$처럼 다룰 수 있습니다.

유한개의 벡터로 Span되면 유한차원, $\dim V$ = 기저에 속한 벡터의 개수. $\dim\{\mathbf 0\}=0$.
예: $\dim\mathbb P_n=n+1$ ($\{1,t,t^2,\dots,t^n\}$이 기저). $H=\text{Span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$(독립)이면 $\dim H=2$.

행공간 Row$A$ = $A$의 행벡터들이 Span하는 공간. 핵심 사실: $$\text{rank}A=\dim(\text{Col}A)=\dim(\text{Row}A)=\text{피벗 개수}$$ 즉 행으로 세든 열로 세든 차원(rank)은 같습니다.

기저 $\mathcal B=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ 에서 $\mathcal C$ 로 바꿔주는 좌표변환행렬: $$[\mathbf x]_{\mathcal C}=\;\underset{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}{P}\;[\mathbf x]_{\mathcal B},\qquad \underset{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}{P}=\big[\,[\mathbf b_1]_{\mathcal C}\ \ [\mathbf b_2]_{\mathcal C}\ \cdots\ [\mathbf b_n]_{\mathcal C}\,\big]$$ 즉 $\mathcal B$의 각 기저벡터를 $\mathcal C$좌표로 적은 것을 열로 세우면 그게 바로 그 행렬이에요.

화살표 방향이 핵심: $\underset{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}{P}$ 는 오른쪽($\mathcal B$)에서 받아 왼쪽($\mathcal C$)으로 바꿔줍니다. 그래서 $\underset{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}{P}[\mathbf x]_{\mathcal B}$ 처럼 $\mathcal B$끼리 만나게 써요.